이번 포스팅은 지난번에 이야기했던 대로 내적에 대해 알아보도록 합시다. 내적에 대한 개념은 실은 물리학에서 가장 잘 사용되어지는 개념중에 하나입니다. 내적은 배우지 않았지만, 물리학을 배우셨다면, 심심치 않게 간접적으로 내적이 이용되었음을 알 수가 있는데요. 수학적으로 내적이 어떻게 정의되었는지 확인해 보고, 물리학 측면에서 어떻게 내적이 사용되었는지도 구체적으로 분석해 보도록 하겠습니다.
수학도 짜증나는데, '물리'... 의 ㅁ 자만 들어도 치가 떨려요... 라고 생각할 수도 있는데,ㅠㅠ .... 일단, 그래도 긍정적인 마음으로 잘 받아들여 봅시다..
우리가 '일'을 한다는 건 '노동'... '먹고 살기 위해 하는것' 이라고 할 수도 있겠지만, 물리학적으로 '일'을 한다는 것은 물체에 힘을 줘서 적당한 거리만큼 이동하였을 때, 그게 얼마나 되는지를 측정하는 거라 볼 수 있습니다.
예를 들어서 내가 F만큼의 힘을 주어서, s의 변위만큼 이동했다. 라고 이야기 한다면, 해 준 일의 개념인 W는
로 이야기 해 줄 수 있습니다.
그런데, 만약에 문제는 힘의 방향과 이동방향이 일치하지 않을 때의 경우인데, 지금 그림처럼
요렇게, 이동하는 경우입니다.
우리가 물리학적에서 일을 한다는 개념의 정의에 전제된 것은 '힘의 방향과 이동방향이' 서로 동일할 경우에만 일을 한다고 해줍니다. 왜 그렇게 정의하였는가염?? 을 묻는 것은 물리 포스팅을 할 때, 기회가 되면 설명해 드리고, 어찌됬던 위의 이 밑줄 친 것은 Defintion 그러니까, '정의' 입니다. 일단, 정의는 그렇게 함이 타당하기 때문에 약속한 것이므로, 우리는 저 말을 뿌리로 해서 잘 분석해보면, 위의 경우는 힘 F 성분에 대해, 수평성분인 cos성분과 수직성분인 sin으로 분해 해 볼 수가 있습니다.
이 때, 이 상황을 정의에 맞춰보면 힘의 방향과 이동방향이 동일한 경우로 작용할 경우에만 일을 하는 거라 했으니, 이동방향의 수직 성분인 sinθ 만큼 작용한 힘은, 이 물체에 일을 해준게 아닌게 됩니다. 그러면, 실제 저 아찌가 해준 일은
가 됩니다. 여기서 말한 F와 s는 모두, 방향성이 있는 벡터값들입니다. F는 힘의 방향과 크기.. 두 개 있고, s의 경우도 얼마만큼 이동할거느냐의 크기와 어디로 움직일 거냐(동서남북...)과 같은 방향이 있습니다.
이 두 벡터량에서, 우리는 위의 '일'개념에 타당할 수 있는 내적을 정의할 수 있는데,
바로 F,s의 내적을 다음과 같이 정의하고,
이동 방향과, 작용하는 힘 사이의 각을 θ라고 할 때,
로 정의하는 겁니다. 이러면 아까처럼, 힘의 방향과 이동방향이가 같은 경우엔 , 그 방향으로 100% 쓰인 거니까,
가 되고, 나머지 경우는 각도에 해당하는 cosθ만큼이 곱해져서, 일의 정의에 맞는 물리량을 잘 계산할 수가 있습니다.
내적을, 이제 물리 개념이 아닌, 일반적인 벡터에 적용해보면
<벡터의 내적>
두 벡터 a,b에 대해 a와 b가 이루는 각이 θ라 할 때, 두 벡터의 내적 a·b를 다음과 같이 정의한다.
※ 이 때 내적을 나타내는 표현은 벡터 사이의 ' · ' 를 이용하여 표현하는 건데 이 것을 '×' 기호를 사용한다거나
곱셈 기호 생략하듯이 생략하거나 표현해서는 절대 안된다.
(벡터의 연산자에는 내적 말고도 다른게 많아서, × 기호를 사용하는 것이든지, 기호를 생략하는 것이든지의 의미는 내적 말고 다른 연산자를 의미하기 때문이다.)
아... 물론, 그러한 개념을 평면이 아닌 공간상의 벡터에서도 잘 표현해 줄 수 있습니다. 공간벡터 상의 문제는 두 벡터가 꼬인 위치에 있을 수 있는 경우(③)에 있지만,
벡터의 상등 개념에 의해, 벡터를 적절히 평행이동시키면 동일 평면 상에 있도록 해 줄 수 있으니까, 각도 θ를 잘 알 수 있는 거고, 그러니까 문제가 생기지 않습니다.
아차차 또하나, 벡터 내적 결과물의 값은 스칼라량입니다. 계속 벡터량, 스칼라량이라는데서 주목을 해주셔야 하는데, 벡터량은 방향과 크기가 둘다 있고,
스칼라는 크기만 가지고 있는겁니다. 아하! 그러니까 벡터의 내적이라 함은 두 벡터량 끼리 곱하는건데, 그 결과는 방향이 없는 스칼라값이다... 이렇게 해석해야 한다는 것입니다 :)
한편, 이 벡터의 내적에 cos성분이란 걸 잘 고려해보면, 정사영에 대한, 개념과도 많이 닮아 있는데요. 우리가 앞서 정의했던 내적표현
에 주목해보면, 이 식을
이렇게 쓰는 것 무리없어 보입니다. 단순히 괄호를 묶은건데,
결합법칙이 적용되어서 괄호의 연산을 먼저 하겠단 겁니다.
아.. 그런데 이 b 크기의 cos성분은 b벡터 성분에 대한 a벡터
위로의 정사영이라고 해석할 수 있습니다.
아하, 그래서 내적을 a의 크기에 b를 a로 내린 정사영에 해당하는 크기를 곱한것이구나~ 이렇게도 해석할 수도 있습니다.
그러나 한편으로는
........ ①
이렇게도 해석할 수 있는 것 아닙니까? 어차피 내적 연산의 결과물은 스칼라량이기 때문에 , 우변의 값들은 모두 스칼라값을 의미하는데
a의 크기,|a| 라던가 b의 크기 |b|, 그리고 cosθ 는 모두 스칼라 값이여서 이렇게 쓸 수도 있습니다. 실수 세계에서는 교환,결합법칙들이 잘 성립한다는 걸 알고 있습니다.
이것은 무엇을 이야기할까요...?
흐음.. 이것은 a벡터 성분에 대한 b벡터 위로의 정사영의 개념으로 볼 수 있습니다. 하는 걸 알 수가 있죠! 옆에 보시는 그림처럼요...
아, 그러니까 이 두 결과에서는 어느 대상을 어느 쪽으로 정사영 시킬거느냐에 따라 다른 관점으로 해석될 수 있는 거구요.
이 ①식을 다시 교환법칙에 의해 변형시켜주면,
괄호를 제거하고 , 다시 내적의 정의에 맞춰 정리해보면,
의 개념으로도 볼 수 있습니다. 아하!
우리는 다음번에 더 자세히 설명할 거지만, 벡터의 내적에 연산법칙에 해당하는 '교환법칙' 이란 성질을 얻었습니다.
<벡터의 내적 연산의 성질>
벡터의 내적에서 교환법칙이 성립한다.
